Stella Baruk : «  En mathématiques, toute erreur a sa raison d’être »

Depuis plus de cinquante ans, la professeure de mathématiques et chercheuse en pédagogie Stella Baruk se bat pour mettre la langue française au cœur de l’apprentissage des maths. Sa méthode, Comptes pour petits et grands, est aujourd’hui rééditée pour toucher une nouvelle génération d’enseignants.

Recueilli par Stéphane Bataillon et Sabine Marchand, Entretien initialement paru dans La Croix l’Hebdo du 13/07/2021

 

La Croix L’Hebdo : Pourquoi être « nul en maths » est-il toujours aussi douloureux ?

Stella Baruk : Parce que cela met en jeu l’idée que l’on se fait de sa propre intelligence. Il est terrible de penser « je ne vais pas y arriver », parce qu’on ne s’en imagine pas capable. Quand le regard des autres s’en mêle, c’est encore plus lourd. J’ai travaillé avec plusieurs adultes durablement traumatisés par leur parcours mathématique. On peut dire ces choses aujourd’hui, où l’on essaie de comprendre pourquoi nos résultats internationaux sont ce qu’ils sont depuis plus de vingt ans.

Qu’est-ce qui se joue exactement ?

S.B. : En maths, tout part d’une question que l’on vous pose, ou qui se pose, et dans laquelle on se retrouve complètement impliqué. Il faut essayer d’y répondre. C’est cet engagement total qui, s’il ne donne pas de résultat, est décourageant et atteint la confiance en soi.

D’où vient cette inégalité entre les forts et les nuls en maths ?

S.B. : Je suis incapable de vous dire pourquoi certains deviennent des génies en maths. Je peux en revanche très bien dire pourquoi certains autres ne comprennent pas. J’écrivais, dès Échec et maths : « Il n’y a pas de raison à l’échec en maths, il n’y a que des raisons. » Ce sont ces raisons que j’essaie d’analyser en interrogeant le rôle qu’y joue la langue. En mathématiques, elle peut être la pire, mais aussi la meilleure des choses. C’est la langue qui met en relation, autorise des rapprochements et permet à de nombreuses notions de s’incarner, d’être mémorisées.

D’où vient cette place centrale accordée à la langue française dans vos travaux sur l’apprentissage des mathématiques ?

S.B. : De l’Iran, où je suis née, puis en Syrie, au Liban et en France, où je vis depuis plus de soixante ans, le français a fait plus que m’accompagner. Il m’a nourrie. Pour mes parents, qui étaient instituteurs de l’Alliance israélite, le français était une langue seconde. Cette langue était comme un cadeau. Je suis née en français. Un français élégant, soutenu, appris dans les grands classiques, leur belle langue, sa musique, ses sonorités.

Mon père nous amusait beaucoup avec des improvisations autour d’un mot. Une langue n’est pas là que pour communiquer, pour dire « passe-moi le sel ». Il y a un côté sensuel très important. C’est ce mode « musical » qui joue dans ma façon de transmettre les mathématiques. En particulier, la manière dont un mot passe par les oreilles appelle d’autres mots qui permettent la compréhension. Or, cette partie est souvent négligée.

Comment cela ?

S.B : Quand on voit sur la Toile qu’à la question « dans 345 combien y a-t-il de centaines ? », la moitié des 120 petits CE2 interrogés ne savent pas répondre, on pourrait tout de même se dire que ce ne sont pas eux qui sont « en difficulté ». Je travaille depuis cinquante ans à rendre accessible un système qui ne marche pas parce qu’il sépare l’enfant de sa langue. Qui parle, ou répond, en « unités, dizaines, centaines » ? Or, quand on dit « trois cent quarante-cinq », les cents on les entend, il y en a « trois », donc 3, quarante ça commence comme quatre (cela permet de retenir qu’il s’agit de 4 « dix ») et le cinq est un 5 qui dit « la vérité » !

En français – sauf pour quelques « irrégularités » –, nous avons la chance que les mots numéraux s’énoncent en se glissant dans le système décimal. Dans d’autres langues, ce n’est pas le cas. En arabe par exemple, 345 s’énonce dans cet ordre : « trois cent, cinq et quarante ».

Vous avez dédié beaucoup de vos travaux à cette question de l’apprentissage de la numération. Pourquoi ?

S.B. : Parce que c’est le socle, la base. Ce qu’on appelle le « passage de la dizaine », par exemple. Pourquoi écrit-on « dix » avec un 1 puis un 0 ? Cette question est bien trop difficile pour un enfant de maternelle. Or, on leur met « 10 » au programme en grande section, donc sous les yeux, et sans justification ! C’est déjà un ver dans le fruit.

Comment en êtes-vous venue à aimer les maths ?

S.B : J’étais dans la classe de mes parents en primaire, et je côtoyais, à 8 ans, la prose intense et colorée du Salammbô de Flaubert. J’ai eu le certificat d’études, avec mention, à 9 ans et demi, petit phénomène à l’époque. Arrivée à Beyrouth, à 13 ans, pensionnaire en quatrième je découvre un univers : de l’algèbre et de la géométrie. Notre professeure, sœur Tarcisia, avait vu que ça me plaisait ; et tout à la fois elle me complimentait et me mettait au défi de résoudre chaque nouveau problème.

Plus tard, en première au Lycée français, nous étions 24 élèves avec plus de 10 ethnies et langues différentes. C’était une passionnante découverte de la diversité et coexistence des cultures. Mes deux meilleures amies étaient l’une catholique, l’autre musulmane, tout à fait représentatives d’un Liban qui a disparu. Nous étions toutes les trois les meilleures en français. Mais il se trouve que c’est avec deux autres filles que nous étions les meilleures en maths, et notre professeur nous a beaucoup poussées à faire maths élém (terminale scientifique, NDLR).

C’était difficile ?

S.B. : C’était une implication réelle. Et apprendre à parler, écrire et raisonner dans une « langue » spécifique, trouver des solutions élégantes, était source de bonheurs, voire de fierté.

Qu’est-ce que vous entendez par « solutions élégantes » ?

S.B. : C’est quand, alors que vous avez déjà noirci deux pages pour résoudre un problème, vous vous apercevez qu’en prenant les choses un petit peu différemment, vous arrivez à une demi-page. Cela passe par un chemin différent, qui vient à force de labour, en trouvant un sentier que vous ne voyiez pas auparavant.

Et ensuite ?

S.B. : Mes parents voulaient que je devienne enseignante. Moi, je voulais être psychiatre. Pas question en étant une fille à cette époque ! La seule chose réaliste était de faire comme papa maman… en mieux. Soit prof de français, soit de mathématiques. En maths, il y avait beaucoup moins de professeurs femmes que d’hommes. J’ai donc étudié au Centre d’études mathématiques de Beyrouth, où j’ai suivi un cursus de licence, et puis je suis venue à Paris.

Pour poursuivre les mathématiques ?

S.B. : Non, pas du tout ! Dans le but… de faire de la musique. J’avais une très jolie voix. Avec mon père, nous chantions très souvent ensemble, et j’adorais ça. Je cherche donc un lieu où prendre des cours de chant, et découvre la Schola Cantorum. Je suis prise dans la classe d’Irène Joachim, une immense artiste française qui a été une Mélisande de légende. Mes parents n’étant pas d’accord, il fallait que je me débrouille par mes propres moyens. Alors au début elle m’a donné des leçons gratuitement. Elle me disait : « Avec ta voix, j’aurais fait une carrière internationale. » Seulement,pour faire carrière, il aurait fallu choisir de se consacrer entièrement au chant. Or je me suis mariée et j’ai eu des enfants. Je devais trouver du travail, il était tout trouvé, et donc j’ai enseigné les mathématiques.

En 1973, vous publiez un livre, Échec et maths, qui va avoir un formidable retentissement. Quelle est son histoire ?

S.B. : Au début des années 1970, j’ai été engagée dans un centre médico-pédagogique à Vernon, dans l’Eure, qui recevait des enfants déclarés « en inappétence scolaire ». On m’a confié les classes de collège et demandé si je voulais bien m’occuper du soutien des plus petits : ce qui fut la découverte d’un monde, celui de l’enfance du savoir, et de sa passionnante complexité.

Un jour un élève de troisième me dit : « Je n’ai pas compris, quand vous avez dit que la racine carrée de trois était égale à neuf. » Mais je n’avais évidemment jamais dit ça ! J’avais expliqué quelque chose et l’élève avait entendu tout autre chose. Dans ce cas, soit on pense : « Il ne va pas bien, il a des problèmes », soit on se demande « mais pourquoi a-t-il entendu une chose que je n’ai pas dite ? ». Mon second étonnement a été de voir les enfants aux prises avec des additions et des multiplications et de constater que c’était beaucoup plus difficile à enseigner que le théorème de Pythagore. Le tout a été une expérience très riche qui a initié une réflexion au sens propre, c’est-à-dire un retour sur la matière que j’essayais de transmettre et la manière dont je m’y prenais. C’est ce travail d’analyse qui est à l’origine d’Échec et maths.

Dans ce livre, vous envisagez l’erreur comme un outil pédagogique puissant.

S.B.: Je dis souvent que quand les élèves font des erreurs, c’est comme s’ils m’offraient des bonbons. C’est passionnant, pour moi qui voulais savoir comment ça marche dans la tête. Les erreurs permettent d’identifier ce qui a été véritablement entendu, il n’y a plus qu’à comprendre pourquoi, en oubliant l’explication paresseuse de l’« élève en difficulté ». C’est comme ça que j’ai avancé.

Comment utiliser positivement l’erreur ?

S.B : Quand on aborde une toute nouvelle notion, comme les puissances par exemple, les premiers exercices suivant le cours font ressortir la fragilité, la nouveauté, les analogies qui se sont produites face à cette découverte. Toute la complexité de la notion apparaît alors dans les réponses que donneront les élèves, erreurs classiques comprises, et qui n’ont aucune vocation à être notées. C’est un aller-retour de sens. L’élève se met ainsi à exister dans son erreur, elle a une raison d’être. Il s’est passé quelque chose dans sa tête. Sauf s’il a renoncé au sens, c’est-à-dire s’il s’est complètement détaché de la nécessité de comprendre.

Pourquoi cette question de sens est-elle si importante ?

S.B : Un jour, après la sortie d’Échec et maths, quelqu’un frappe à ma porte et me dit, très ému : « Je suis l’automathe ! » Il s’était reconnu dans ce néologisme qui désignait dans le livre quelqu’un qui avait renoncé au sens dans sa pratique des mathématiques.

On pourrait dire que l’approche d’une notion mathématique inconnue est équivalente à celle d’un texte en langue étrangère : elle a du sens, mais qui ne parvient pas pour l’instant à son destinataire. Dans les deux cas, j’appelle ces contenus de sens encore inaccessibles du « pas-de-sens ». Or ils sont de natures bien différentes, le premier disposant d’une traduction immédiate, l’autre demandant des années de savoirs préalables.

Si on laisse des pas-de-sens s’enkyster à quelque niveau que ce soit, l’élève petit ou grand peut être amené à renoncer au sens. La plupart des erreurs graves sont dues à ces abandons du sens, qui deviennent des non-sens, tels que, par exemple : 1/4 = 1,4 ou bien 1/2 + 1/3 = 2/5.

D’où la nécessité de s’assurer constamment de la présence du sens…

En 1993, vous publiez un imposant dictionnaire des mathématiques, devenu une référence…

S.B : Devenue spécialiste de l’échec en mathématiques, je reçois un jour un garçon en troisième dont on me dit « vous êtes sa dernière chance ». Par chance, justement ça se passe bien, il était excellent en français ! Mes questions sans cesse posées à propos d’un exercice d’algèbre sur ce que voulait dire tel ou tel mot l’amusaient. Il décide donc de revenir. Ouf ! Et cette fois avec un « cadeau » pour moi : alors qu’un énoncé de géométrie était pour lui du chinois, il avait réussi à faire la figure d’un problème d’orthocentre (le point de concours des hauteurs) en cherchant mot à mot le sens des termes, juste avec le Petit Larousse !

Ça a travaillé dans ma tête : s’il était arrivé à comprendre avec un dictionnaire et à construire, peut-être qu’un dictionnaire qui expliquerait les mathématiques serait utile. Je propose l’idée au Seuil, qui saute dessus et me demande dans combien de temps je compte leur rendre le manuscrit. Je réponds deux ans. J’ai voulu commencer par « Zéro » et j’ai passé trois mois sans écrire une ligne, parce que ça partait dans tous les sens. Finalement, j’y ai passé quatorze années de ma vie ! Drôle de cadeau…

Un travail titanesque de plus de 1 300 pages…

S.B. : Oui ! Certains matins, je me réveillais avec plus l’envie de pleurer qu’autre chose. Il était trop tard pour lâcher, trop tôt pour finir… C’est le premier dictionnaire de mathématiques où il est question d’abord de la langue, du sens que le mot a dans la langue courante et de quelle façon il va se spécifier par rapport à, contre ou à côté de la langue mathématique. C’est tout mon travail.

Que pensez-vous des évaluations que l’on fait passer aux élèves en début de CP, de CE1 et en sixième ?

S.B. : Elles sont complètement contre-productives et parfois sidérantes ! Dans beaucoup d’exercices de CE1 il y a des questions à choix multiples sur de pleines pages, où l’on se retrouve avec des forêts de chiffres dans lesquelles l’élève doit trouver en quelques minutes la bonne réponse qui y est cachée. Dans d’autres – et sans doute à force de dire qu’il faut travailler avec les erreurs –, les concepteurs de ces exercices se mettent à produire des erreurs à la place de l’élève. Mais l’erreur n’a de sens que si elle est faite par l’élève et qu’il est là, en chair et en os, et qu’on peut lui dire « à quoi tu as pensé, qu’est-ce qui te fait penser que ? ».

Mais le sommet est atteint par ceci :

sur deux pages comprenant chacune 21 inventions de ce genre, il faut reconnaître des « représentations » de nombres : soit 7, dans la première, et 13 dans la deuxième. Penser que des compétences vont être jugées à partir de pareilles confusions, en ajoutant n’importe quoi à n’importe quoi, est vraiment désespérant. De plus ces évaluations ne cessent de s’autojustifier en se disant capables de rendre les réussites prédictibles. Vous vous rendez compte de ce que cela veut dire ? Dans une classe il y a 20 % des élèves qui réussissent à faire les exercices. Et les autres, on en fait quoi ?

Vous parlez d’ailleurs, à ce propos, d’innumérisme…

S.B. : Le mot est moins à la mode, mais la réalité qu’il décrit est bien là. Actuellement, ce qui est à la mode ce sont les neurosciences qui veulent semble-t-il gouverner l’éducation. C’est un débat qui mérite d’être développé et argumenté, mais en attendant je ne peux que désapprouver la caution qu’elles apportent à diverses méthodes qui ne font que prolonger celles qui ont mis l’école dans la situation difficile où elle se trouve.

Comme la méthode de Singapour ? Entrée dans les écoles et les familles avec fracas depuis quelques années, elle apparaît un peu comme une solution miracle. Qu’en pensez-vous ?

S.B. : Là aussi, il n’est pas possible de donner un avis sans apporter les preuves de ce que l’on avance. L’ennui c’est que la preuve de l’efficacité ou non de ces méthodes ne sera lisible que dans quelques années à l’échelle de notre pays. En attendant elles sont fondées sur ce que je combats depuis des décennies, à savoir la terreur de l’« abstrait », et donc la « religion » du concret. Un nombre, c’est abstrait. Ce n’est pas en emboîtant des cubes sur des baguettes ou en enfilant des perles de toutes les couleurs, ou en chosifiant 300 en trois plaques carrées, que l’on donnera le sentiment des « cents », et que l’on empêchera que trois cent quarante-cinq s’écrive 30045.

C’est pour cela que vous faites la différence entre nombre et quantité ?

S.B. : Oui, c’est fondamental et fondateur. Si la quantité est à l’origine du nombre, le nombre n’est pas la quantité. Les enfants adorent penser qu’un nombre est une idée, et que ça se passe dans leur tête, alors que ce que j’appelle un « nombre-de » est généralement une quantité, qui obéit à des lois différentes.

Je peux dire « dix mille milliards de kilomètres », c’est « concret » et c’est beaucoup. Mais ça représente quoi ? Et pour qui ? Pour un astrophysicien, dix mille milliards de kilomètres, c’est une année-lumière. Tout comme, pour un éleveur, 700 kg représentera le poids d’un bœuf, alors que vous, vous n’en avez pas la moindre idée, et que tous ces « concrets » sont bien abstraits !

Comment alors bien aborder la chose ?

S.B. : Il faut miser sur la supposée abstraction dès le départ, faire coexister, dès le CP, en les distinguant, voire en les opposant, nombres et nombres-de, chaque notion ayant sa spécificité. Une fois admis qu’un nombre est une idée, il peut évoquer toutes sortes de choses.

« Cinq » par exemple suscite toutes sortes de représentations ou d’évocations : socialisée, comme celle du dé à jouer ou du domino ; linéaire, qui oblige à compter ; géométrisée, qui est savante mais qui leur apporte des plaisirs extrêmes, comme par exemple un beau pentagone étoilé. Il a aussi toutes sortes de propriétés ou de significations, par exemple selon qu’il multiplie ou divise. Mais si dans un problème on nous parle de 5 oranges, le 5 est irrémédiablement un nombre d’oranges, ce qui restreint considérablement l’usage qu’on peut en faire.

Comment faire face à un élève qui doute terriblement de lui-même ? Comment lui donner envie de plonger dans les maths et de se dire « c’est peut-être pour moi » ?

S.B. : Ce que ressentent toujours les élèves que j’ai soit à mes côtés soit en classe, c’est qu’il n’y a pas l’ombre d’un doute sur leurs possibilités, leur intelligence, parce que c’est ma conviction profonde, et c’est cette certitude-là qui passe, comme c’est le cas pour de nombreux enseignants. Ils s’habituent à me voir rire de bon cœur lors de certaines réponses, parce qu’elles sont drôles : ce qui amène à en rire ensemble. C’est cette vie commune qui se fait autour du papier et du crayon, au fil des questions-réponses, qui est d’une intensité extraordinaire. S’il n’y a pas ces allers-retours de sens, pas d’émerveillement, même un cours parfait peut ne pas être compris.

Finalement, les maths, ça sert à quoi ?

S.B. : Les mathématiques fournissent des outils d’analyse du monde qui nous entoure et permettent de résoudre des problèmes soit domestiques, pratiques, quantitatifs bien connus, mais aussi extraordinaires : fascination de l’espace dans lequel se « promènent » des vraies gens !

Et puis, elles ont enfanté à quelque échelle que ce soit des problèmes petits ou grands absolument « inutiles » qui, sur certaines personnes, ont un attrait puissant : défis, énigmes, auxquels nombre d’amateurs consacrent tous leurs loisirs. Carrés magiques, pavages pentagonaux, inépuisables nombres premiers… Au fait, on n’a toujours pas démontré que tout nombre pair supérieur à 3 est la somme de deux nombres premiers… Et depuis 1742, il y a des gens qui cherchent !

Ses dates

1932. Naissance à Yadz, en Iran

1973. Échec et maths (Seuil)

1992. Dictionnaire de mathématiques élémentaires (Seuil, réédité en 2019)

1997. Comptes pour petits et grands, tome 1 (Magnard,réédité en 2021)

2004. Si 7 = 0. Quelles mathématiques pour l’école ? (Odile Jacob)

2006. Naître en français (Gallimard, Haute Enfance)

2008. Dico de mathématiques. Collège et CM2 (Seuil)

2016. Officière de la Légion d’honneur

Ses tableaux

Improvisation 9, de Kandinsky

« Un jour, l’astrophysicien Pierre Léna, l’un des cofondateurs de La Main à la pâte, me raconte l’histoire d’un professeur d’arts plastiques qui avait critiqué un arbre très original et poétique, perpendiculaire au flanc d’une montagne, dessiné par un élève. En 2009, je vais à l’exposition Kandinsky au Centre Pompidou et là, je tombe en arrêt devant un tableau, Improvisation 9, avec un arbre identique à celui du “mauvais élève”. »

La Tour de Babel, de Bruegel l’Ancien

« Ce tableau est fabuleux. Avec tous ces personnages en train de discuter au pied de la tour, de commenter, peut-être, ces arches perpendiculaires au sol incliné, donc promises à l’écroulement, ces travées qui ne vont nulle part… C’est une merveille. »

Son musicien

Franz Schubert

« La musique est absolument fondamentale dans ma vie. Je travaille toujours en musique. Les quatuors de Schubert sont des merveilles, ses lieds aussi, que j’ai chantés. Mais la Grande Symphonie, la n° 9, est quelque chose de fabuleux. Un bain de bonheur. C’est mon compositeur d’île déserte, je pourrais me passer de tout autre mais pas de lui. »

Ses lieux

« J’ai aimé, adolescente, les montagnes de nos vacances au Liban : Meyrouba, Broumana. Et en France, les Alpes, les Pyrénées. Mais il est aussi une maison dans un paisible coin de Charente-Maritime, où je peux voir les saisons transformer les herbes, les fleurs et les arbres, et vivre de grands bonheurs auprès de mes enfants et petits-enfants. »

Sa citation

« Si on ne sait pas leur nom, la connaissance des choses périt. »

Isidore de Séville, théologien et évêque d’Hispalie (Séville), VI-VIIe siècles